Giáo sư, Tiến sĩ Khoa học, Nhà giáo nhân dân, Danh nhân khoa học thế giới, Phó Tổng giám đốc Trung tâm tiểu sử quốc tế, đó là một loạt các chức danh khoa học của nhà toán học NGUYỄN CẢNH TOÀN, người được thế giới biết đến qua phát minh "Hình học siêu phi Euclid" mang tên ông.
Sinh ngày 28-9-1926 tại làng Nghiêm Thắng, xã Đông Sơn, huyện Đô Lương, tỉnh Nghệ An, ngay từ nhỏ, do tò mò khoa học, ham hiểu biết mà học sinh Nguyễn Cảnh Toàn đã hình thành sớm cho mình sự chủ động tìm học, tự học, học ở mọi nơi, mọi lúc, học cách tự duy, học cách làm việc và học cách phát hiện vấn đề. Những kỷ niệm như, nhìn đồng hồ là Nguyễn Cảnh Toàn biết được vận tốc gần như tức thời (tốc độ trung bình trong vài giây, trong một phút) của tàu hỏa, hay khám phá ra bí mật của số ghi trên cột km đã trở thành những tiền đề thành công sau này của ông. Thầy Đình Thành Chương (từng dạy ông ở trung học cơ sở) đã nhận xét về ông : "Toàn không phải là thần đồng nhưng rất biết cách học".
Nhờ vốn liếng ông về cách học "chủ động và thông minh" đó mà ông gặt hái được nhiều thành công khi làm thầy. Ông là thầy về "cách học", dạy cho người khác "cách học". Ngày nay, một giáo viên dạy toán trung học phổ thông phải là cử nhân sư phạm, vây mà khi Nguyễn Cảnh Toàn bắt đầu dạy năm 1947, ông mới có 1/4 bằng cử nhân (toán học đại cương) mà lại chưa qua đào tạo sư phạm. Ấy vậy mà Nguyễn Cảnh Toàn vẫn nhận một chương trình toán nặng hơn chương trình tú tài chuyên toán chỉ trong một thời gian ngắn, ông đã nổi tiếng là thầy giỏi. Học trò ca ngợi ông vì lối tư duy độc lập không phụ thuộc vào sách giáo khoa dù cho tác giả là người có uy tín (Brachet). Những chỗ ông không theo Brachet thì ông nghiên cứu cách làm hay hơn. Ông giúp học trò cách tư duy và không bao giờ cho học sinh "trúng tủ". Ông là người có bản lĩnh, dám nhận những việc khó như dạy những môn mình chưa học, nhận nói chuyện những chủ đề không thuộc chuyên môn của mình, tự đẩy mình vào tình thế không thể thoái thác. Năm 1949, ông thi đỗ cử nhân và được Bộ điều lên dạy đại học. Ngay lập tức như cá gặp nước, một chuỗi những thành tựu của ông về toán học, về dạy học và quản lý giáo dục cứ liền tiếp nối nhau. Những quan điểm ông đưa ra tưởng như không tưởng, không thể chấp nhận nhưng thực tế đã chứng minh, ông luôn đúng. Ông đã đi trước thời gian.
Ông còn tự mình học triết học duy vật biện chứng, coi đó là cốt lõi của tư duy sáng tạo, lúc đầu vận dụng còn sượng, sau tinh dần rồi góp phần không nhỏ vào thành công trong nghiên cứu, giảng dạy và quản lý giáo dục của chính bản thân ông. Về toán học, nhờ vận dụng "mâu thuẫn và thống nhất giữa hình học Euclid và hình học phi Euclid", ông đã tiến hành thuận lợi luận án tiến sĩ. Luận án đầu tiên của người Việt Nam được làm trong nước và bảo vệ xuất sắc ở Liên Xô (cũ) (1958). Đến luận án tiến sĩ khoa học, cũng nhờ vốn tư duy biện chứng, ông đã vượt qua được thách thức trong lịch sử toán học khi đưa ra kết luận "xa vô tận chỉ là tương đối", khác hẳn "Xa vô tận là tuyệt đối" trong không gian Euclid hay phi Euclid. Và từ một trường hợp cá biệt đó, ông đã khái quát lên thành một lý thuyết bao trùm hết những không gian như vậy, mang tên "hình học siêu phi Euclid" vì hình học phi Euclid chỉ là một trường hợp rất đặc biệt của nó. Đó chính là "Hình học Nguyễn Cảnh Toàn".
Ngày đó, Trường Đại học Sư phạm chỉ học trong hai năm trong khi các tài liêu về khoa học tự nhiên của Liên Xô (cũ) lại tương đối dài. Nhu cầu "tinh giản" được đặt ra cấp bách. Điển hình cho việc "tinh giản", đó là việc ông đổi mới cách thành lập các công thức lượng giác của hình học Lobachevski. Và sau khi nghiên cứu nhận thấy các sách của Liên Xô (cũ) đều đi từ đơn giản đến phức tạp, ông đã vận dụng mối quan hệ biện chứng giữa chủ quan và khách quan để đi ngược lại từ phức tạp đến đơn giản và kết quả là gọn đi rất nhiều. Giáo sư Efimov ở Trường Đại học Tổng hợp Moscow, sau khi được ông thông báo đã sửa lại sách của mình khi tái bản và chú thích rằng đây là cách làm của nhà toán học Việt Nam Nguyễn Cảnh Toàn. Ông còn là tác giả sách Phương pháp luận duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên cứu toán học, cho đến nay là quyển sách duy nhất đề cập sát sườn đến việc vận dụng tư duy biện chứng vào việc học, việc dạy, việc nghiên cứu toán từ phổ thông đến trên đại học.
Vào những năm 1960, việc hướng dẫn đào tạo trên đại học còn rất khó khăn do lực lượng hướng dẫn còn quá mỏng. Đa số nghiên cứu sinh đều được gửi ra nước ngoài. Ông thì quan niệm khác : Nếu chỉ chờ đợi "đi nghiên cứu sinh" thì không đáp ứng nổi nhu cầu trong nước, không lâu dài. Hơn nữa, không tạo ra được môi trường khoa học trong nước. Từ đó, ông quyết định tổ chức bồi dưỡng cán bộ giảng dạy ở khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội theo hai cấp : Cấp 1 (tiền thân của cao học), cấp 2 (tiền thân của đào tạo nghiên cứu sinh). Sau mười năm ở cương vị Chủ nhiệm khoa, rồi hiệu trưởng, ông đã xây dựng "cấp 1" thành nề nếp, còn "cấp 2" thì ngày 23-04-1970 trở thành một cái mốc lịch sử : Ba luận án cấp 2 (nay gọi là tiến sĩ) được thực hiện và bảo vệ tại trường của ông. Đây là một thắng lợi không những của riêng ông mà còn là bước tiến mới của nền giáo dục ở nước ta và cũng là động lực chính để Nhà nước cho phép chính thức mở đào tạo nghiên cứu sinh trong nước năm 1976.
Ông cũng là người mở đường cho đào tạo từ xa thắng lợi, có nhiều sáng tạo độc đáo cho Việt Nam. Đó là việc đào tạo giáo viên trung học phổ thông bằng con đường tự học có hướng dẫn kết hợp với thực tập sư phạm dài ngày ở trường phổ thông (gọi tắt là vừa học vừa làm giáo viên). Thế giới cũng hiếm thấy việc dùng "từ xa" để đào tạo giáo viên vì rằng "chính quy" mới tạo ra "mô phạm". Ông đã đi trước thời gian với quan niệm "mô phạm" là mẫu mực trong việc phát huy nội lực tự học, tự nghiên cứu của người học; theo cách nhìn này thì "từ xa" có những thuận lợi. Ông coi trọng "học đi với hành", ở ông, "hành" không chỉ là ứng dụng kiến thức mà còn là ứng dụng các kiểu tư duy, thể nghiệm các trạng thái tâm lý được thể hiện qua bài Tư duy và nhân cách quan trọng hơn kiến thức đăng trên báo Giáo dục và Thời đại ngày 19-10-1997. Bởi vậy, theo ông, nghiên cứu khoa học phải được đưa vào ngay từ các trường phổ thông và ông viết cuốn sách Tập cho học sinh giỏi toán làm quen dần với nghiên cứu toán học (NXB Giáo dục - 1992, 1997, 1998). Tại hội nghị quốc tế Sanfrancisco (Mỹ năm 1996), ông cũng đề cập đến vấn đề này qua báo cáo "Đưa nghiên cứu khoa học vào trường phổ thông".
Nhiều người nói vui, gọi ông là một ông "Vua tự học", là "hòa thượng Thích tự học". Ông đã giữ nhiều chức vụ như : Chủ tịch Hội đồng tư vấn của hội khuyến học, đứng đầu Trung tầm nghiên cứu và phát triển tự học cùng đặc san Dạy - Tự học, Tổng biên tập tạp chí Toán học và tuổi trẻ đã 37 năm, tham gia hoặc làm chủ biên, hoặc là thẩm định các từ điển toán học Nga - Việt, Anh - Việt, Từ điển thuật ngữ toán học, ủy viên Hội đồng chỉ đạo, Hội đồng biên tập Từ điển Bách khoa. Với những đóng góp quan trọng của ông, Trung tâm tiểu sử quốc tế đã tặng ông Bằng danh dự để ghi nhận những thành tựu nổi bật về toán học và giáo dục trong hơn nửa đầu thế kỷ 20 của ông.